數(shù)學家證明了一個定理 可以幫助計算多孔巖中水的運動

RUDN大學的數(shù)學家已經(jīng)證明了分數(shù)階擴散問題的一維解的唯一連續(xù)定理。例如，使用這樣的方程式來解決顆粒在多孔介質(zhì)中擴散的問題，例如地下水的滲漏。數(shù)學家的工作結果可能會導致對解決方案及其數(shù)值模擬的更準確分析。在一般情況下，對于其他類別的相似方程式，則沒有此類連續(xù)定理。該文章發(fā)表在《分數(shù)微積分和應用分析》雜志上。

該擴散方程是描述顆粒的滲透到介質(zhì)中的偏微分方程。其解決方案是一種功能ü的噸和X，這使得在點粒子的密度X在時間噸。一維擴散方程包含的衍生物ü相對于噸，以及衍生物ü相對于X和的二階導數(shù)ü相對于X。

一維方程也稱為熱傳導方程：熱傳播可以視為一種擴散形式。在一維分數(shù)擴散方程中，u相對于t的導數(shù)由Caputo分數(shù)導數(shù)代替。如果導數(shù)是比率的極限，則分數(shù)階a的Caputo分數(shù)階導數(shù)由積分公式確定，其中對于整數(shù)值a有導數(shù)的標準值。對于通常的一維擴散方程，可以證明一個連續(xù)定理[s]。[/ s]指出，如果粒子的密度和通量在一個時間間隔內(nèi)的一個邊界點處為零，則沒有擴散在考慮中的x和t中。即使是一年級的學生也可以理解這一說法的證據(jù)，但是直到最近，分數(shù)擴散方程的相似結果還是未知的。

RUDN大學的數(shù)學家山本昌宏和他的同事們考慮了任意參數(shù)a的一維分數(shù)階擴散方程，其值介于0和1之間。他們設法證明在分數(shù)階情況下，在相同的情況下，還存在一個連續(xù)定理。公式：如果在一個時間間隔內(nèi)一個邊界點處的粒子密度和通量為零，則沒有任何擴散。

證明的想法是這樣的：數(shù)學家采取一個解決方案，研究其在連續(xù)過程中的行為，然后根據(jù)參數(shù)獲得對該解決方案增加的積分估計。從積分估計得出，唯一令人滿意的解是零解。對于帶有分數(shù)導數(shù)的相似方程式，沒有已知的相似估計。

分數(shù)擴散方程式被應用于物理學，數(shù)學和計算機科學的各個領域。例如，該方程式描述了顆粒在多孔介質(zhì)中的擴散。這樣的方程已被成功地用來描述地下水污染排放的行為。這種方程式的另一個應用領域是圖像處理。